Вознесенский родился 12 мая 1933 года в Москве. Отец - Андрей Николаевич Вознесенский (1903-1974), участник строительства крупнейших гидроэлектростанций - Братской, Ингурской. Фамилия ясно указывает на происхождение из духовного сословия. Прапрадед Андрея Андреевича, Андрей Полисадов был архимандритом, настоятелем Благовещенского муромского собора на Посаде.
       Мать - Антонина Сергеевна Вознесенская, урожденная Пастушихина (1905-1983) - тоже из Владимирской области. Здесь, в Киржаче, провел часть детства будущий поэт. Во время войны эвакуированные из Москвы мать с Андреем жили в зауральском Кургане.
       Супруга - Зоя Борисовна Богуславская, известная писательница, кино- и театральный критик, инициатор и координатор премии "Триумф".